江南·体育(JNSPORTS)官方APP下载球面与伪球面之异同19世纪上半叶，德国数学家黎曼与数学家罗巴契夫斯基分别独立地创立了非欧几何，被世人分别称作黎曼几何与罗氏几何，这为数学的发展开辟了新的广阔天地，堪称“数学史上的里程碑”。在三维空间里，欧氏几何，黎曼几何与罗氏几何的常曲率空间分别为：曲率为零，曲率为正常数，曲率为负常数。特别地，球面与伪球面分别是黎曼几何与罗氏几何中极具代表性的曲面。本文中，我们给出了球面与伪球面的数点异同。

　　在研究球面与伪球面之前，我们需要先熟知两种曲面的产生过程。为了便于观察与比较，我们还需要在代表符号上运用一定的技巧。

　　定义1在Oxz平面上，我们仅考虑z轴右方的半平面（x≥0），曲线（C）上任意一点到原点O的距离始终保持定长R，则此曲线称作半圆线。

　　其中θ为半径与x轴所成的角。若把上述半圆线绕z轴旋转一周，所得的旋转面称作球面。它的参数表示是

　　类似球面的定义，我们首先介绍Oxz平面上曳物线设曲线（C）上任意一点的切线上介于切点和轴之间的线段始终保持定长R，则此曲线称为曳物线。其方程为

　　其中θ为切线与z轴所成的角。若把上述曳物线绕轴旋转一周，所得的旋转面称作伪球面。它的参数方程是

　　在欧氏几何中，直线（线段）、角、三角形等是非常基础，极其重要的研究对象。在非欧几何中，同样要研究这些概念。而这些概念在球面与伪球面中是怎样表现出来的呢？

　　1.伪球面上的“直线”——测地线。通过伪球面的第一基本形式I=■（dx2+dy2）经过保角变换将其映到平面上，则其上的测地线对应于圆心在轴上的圆。现我们仅考虑Oxz平面上在x轴上方的半平面，即称为罗氏平面。罗氏平面上的半圆即称为罗氏直线。罗氏平面上的任意两点恰好由一条罗氏直线连结，通过保角变换，它们对应伪球面上的两点。相应地，连结伪球面上的两点只有唯一一条测地线，这与欧氏平面上两点连一直线亦很相似，所以，我们把伪球面上的测地线称为伪球面上的“直线.伪球面上过一点A引两条“射线”（测地线弧）AB和AC，它们所构成的图形称作伪球面上的角，记作伪球面∠BAC，A，称作“角”的顶点，测地线弧AB，AC称作“角”的边。

　　我们看到，球面与伪球面的第一、二基本量均不相同，但注意到球面中，而伪球面中EG=R2·R2cos2θ=R4cos2θ，这在某种意义上说是相同的，即均为定长的4次方与第一变角θ的余弦的平方的乘积。同样地，球面上LN=R·Rcos2θ=R2cos2θ，伪球面上LN=？芎Rcotθ·（±Rsinθcosθ）=-R2cos2θ，其绝对值在某种意义上可以说是相同的，它们只是符号相反。这让我们不禁联想到了Gauss曲率的一个计算公式K=■，可以得到球面上K=■江南·体育(JNSPORTS)官方APP下载，为正常数，伪球面上，为负常数，这在一定意义上也可以说是相同的。

　　有了第一基本量，我们很自然地想到利用公式？滓■■dudv（积分区域D-（u，v）平面的区域）来得到曲面的面积。不难验证球面的面积为S球=4πR2。

　　现在我们来得到伪球面的面积，试与球面比较。由于伪球面中所定义的θ角的特殊性，以及伪球面关于xoy面的对称性江南·体育(JNSPORTS)官方APP下载，我们先计算曳物线部分所扫过的面积

　　故整个伪球面面积即为S=2S1=4πR2。显然，这与球面面积公式相当的吻合，均为定长的平方的4π倍。这也充分表明了只要（伪）球面的（虚）半径给定，那么它们的面积为定值，并且是有界的，从而也有其上的三角形的面积也是有界的。

　　在非欧几何中，已经不存在相似三角形，所以，球面三角形与伪球面三角形均是要么全等，要么不同。平面三角形全等的判定定理有（s，s，s），（s，a，s），（a，s，a），（a，a，s），这些定理在球面与伪球面中同样成立，因为它们的证明与第五公设无关。值得注意的是平面三角形中证明两三角形相似的（a，a，a）定理。在球面与伪球面中已不存在相似三角形，那么（a江南·体育(JNSPORTS)官方APP下载，a，a）定理能否成为证明两球面三角形或两伪球面三角形全等的工具呢？回答是肯定的。

　　总之，球面与伪球面作为非欧几何中的典型代表，有着许多相同之处。而作为非欧几何的两个分支，它们又有着很大的不同。它们的发展仍未达到完善，需要进一步地研究与探索。我们应该继承和发扬前辈数学家的勇于创新，坚持不懈的精神，在数学王国中贡献自己的力量。